Question

已知函數
（1）求函數的單調區間；
（2）若恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（3）證明：
①上恒成立
②

Answer 1

（1）上是增函數，在上是減函數  （2）.
（3）見解析

（1）利用導函數知識求出函數的單調區間；（2）利用分離常數法把恒成立問題轉化為求函數最值問題；（3）利用放縮法求證不等式成立
（1）函數       …………………1分
當時，，則上是增函數       ………2分
當時，由得                
由得                 ………4分
則上是增函數，在上是減函數        ……5分
(采用列表的方式也要給滿分)
（2）解法一：由（I）知時，遞增，而不  
成立，故         ………7分
又由（I）知，因為恒成立，
所以,解得              …………9分
所以,實數的取值范圍為.
解法二（分離變量法）：
  ……9分
所以,實數k的取值范圍為.
（3）①證明:由（2）知，當時有在恒成立，
由(1)知當時上是減函數，且，
所以,時, 恒成立,
即上恒成立 .          ……………………11分
②證明：令，則，即，從而，
所以
即