Question

（2013•楊浦區一模）已知函數f（x）=

.

x 1 x -2 1

.

（x＞0）的值域為集合A，
（1）若全集U=R，求C_UA；
（2）對任意x∈（0，

1

2

]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求實數a的范圍；
（3）設P是函數f（x）的圖象上任意一點，過點P分別向直線y=x和y軸作垂線，垂足分別為A、B，求

PA

•

PB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據二階矩陣運算的法則化得f（x）的解析式，再利用基本不等式得集合A，由補集的含義即可寫出答案；
（2）由題得a≥-（x+

2

x

），只須求出a大于等于函數y=-（x+

2

x

）在（0，

1

2

]的最大值，再利用函數的單調性得出函數y=-（x+

2

x

）在（0，

1

2

]的最大值，即可實數a的范圍；
（3）先設P（x₀，x₀+

2

x0

），寫出直線PA的方程，再與直線y=x的方程聯立，得A點的坐標，最后利用向量數量積的坐標運算計算即得答案．

解答：解：（1）由已知得，x＞0，則f（x）=x+

2

x

≥2

2

                       …（1分）
當且僅當x=

2

x

時，即x=

2

等號成立，
∴A=[2

2

，+∞）                                       …（3分）
所以，C_UA=（-∞，2

2

）                                …（4分）
（2）由題得 a≥-（x+

2

x

）                                      …（5分）
函數y=-（x+

2

x

）在（0，

1

2

]的最大值為-

9

2

                       …（9分）
∴a≥-

9

2

                                                      …（10分）
（3）設P（x₀，x₀+

2

x0

），則直線PA的方程為
y-（x₀+

2

x0

）=-（x-x₀），
即y=-x+2x₀+

2

x0

…（11分）
由

y=x y=-x+2x0+ 2 x0

  得A（x₀+

2

x0

，2x₀+

1

x0

）                         …（13分）
又B（0，x₀+

2

x0

），…（14分）
所以

PA

=（

1

x0

，-

1

x0

），

PB

=（-x，0），
故 

PA

•

PB

=

1

x0

（-x₀）=-1     …（16分）

點評：本題考查二階矩陣、補集的含義、平面向量數量積的運算等，考查運算能力，屬于基礎題．