Question

下列命題：
①△ABC中，若

AB

•

BC

＜0，則△ABC是鈍角三角形；
②已知O為△ABC所在平面內一點，若

OA

•

OB

=

OC

•

OB

，則

OA

和

OC

在向量

OB

方向上的投影必相等；
③已知O為△ABC所在平面內一點，若

OA

•

OB

=

OC

•

OB

=

OA

•

OC

且

OA

+

OB

-m

OC

=

0

（m∈R），則△ABC是等邊三角形；
④已知O為△ABC內一點，若

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

，則S_△AOC：S_△ABC=1：3；
⑤若△ABC面積為1，D是邊AB上任意一點，E是邊AC的中點，F是線段DE上的一點，且

AD

=λ

AB

，

DF

=λ

DE

，則△BDF面積的最大值是

1

8

．
期中正確的命題序號為

 

（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：平面向量及應用,簡易邏輯

分析：根據

AB

•

BC

的夾角為B的補角，結合向量數量積的定義，可判斷①；
展開向量數量積公式由向量數量積的幾何意義判斷②；
把已知向量等式變形得到O為三角形垂心，再由

OA

+

OB

-m

OC

=

0

說明O在角A的角分線上判斷③；
通過作圖求解判斷④；
把△BDF面積轉化為含λ的代數式，然后利用不等式求最值判斷⑤．

解答： 解：①△ABC中，若

AB

•

BC

＜0，則B為銳角，此時△ABC的形狀不能確定，故①錯誤；
②已知O為△ABC所在平面內一點，若

OA

•

OB

=

OC

•

OB

，
則|

OA

|•|

OB

|•cos∠AOB=|

OC

|•|

OB

|•cos∠BOC，
即|

OA

|•cos∠AOB=|

OC

|•cos∠BOC，即

OA

和

OC

在向量

OB

方向上的投影相等，故②正確；
③已知O為△ABC所在平面內一點，若

OA

•

OB

=

OC

•

OB

=

OA

•

OC

，則O為△ABC垂心（即三條高的交點），
若

OA

+

OB

-m

OC

=

0

（m∈R），則O點在角C角平分線上，則△ABC是等腰三角形，但不一定等邊，故③錯誤；
④過A點作OB的平行線，在平行線上取線段AD，使得AD=2OB，延長OB至E使得BE=OB，
如圖，

∵AD平行且等于OE，四邊形ADEO為平行四邊形，

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

，
對角線

OD

=

OA

+

AD

=

OA

+

OE

=

OA

+2

OB

=-3

OC

，
∴三角形AOD的面積是三角形AOC面積的三倍，
設三角形AOC面積為X，則三角形AOD的面積為3X，
∵AD平行于OB，且AD=2OB，設CD與AB相交于F點，則有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1，
∴三角形AOF的面積為X，三角形ACF的面積為2X，
∵AF：FB=2：1，
∴三角形CFB面積為X，故三角形ABC總面積為3X．
則S_△AOC：S_△ABC=1：3，故④正確；
⑤∵△ABC的面積為1，D是邊AB上任意一點，E是邊AC的中點，F是線段DE上的一點，

AD

=λ

AB

，

DF

=λ

DE

，如圖，

分別過B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分別為M，N，設MB=h₁，AN=h₂
則

S△ADE

S△ABC

=

1 2 AD•AEsinA

1 2 AB•ACsinA

=

1

2

λ．
∴S_△ADE=

1

2

λ•S_△ABC=

1

2

λ．
∵△DMB∽△DNA
∴

h1

h2

=

1-λ

λ

．
從而有

S△DBF

S△ADE

=

1 2 DF•h1

1 2 DE•h2

=λ•

1-λ

λ

=1-λ．
∴S△DBF=(1-λ)•

1

2

λ≤

1

2

•(

1-λ+λ

2

)2=

1

8

．
當且僅當λ=

1

2

時取等號．則△BDF面積的最大值是

1

8

．
命題⑤正確．
∴正確命題的序號是②④⑤．
故答案為：②④⑤．

點評：本題考查了平面向量在解三角形中的應用，考查了數形結合的解題思想方法，訓練了學生靈活運用向量處理問題和解決問題的能力，是難度較大的題目．