Question

在邊長(zhǎng)為a的正三角形鐵皮的三個(gè)角切去三個(gè)全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無蓋的正三角形底鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

當(dāng)箱子底邊長(zhǎng)為a時(shí)，箱子容積最大，最大值為a³.

設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x，則箱高為h＝(0<x<a)，
箱子的容積為V(x)＝x²×sin60°×h＝ax²－x³(0<x<a)．
由V′(x)＝ax－x²＝0，解得x₁＝0(舍)，x₂＝a，
且當(dāng)x∈時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)x∈時(shí)，V′(x)<0，
所以函數(shù)V(x)在x＝a處取得極大值，
這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值：V＝a³.
答：當(dāng)箱子底邊長(zhǎng)為a時(shí)，箱子容積最大，最大值為a³.