Question

14．數列{a_n}的a₁=$\frac{3}{7}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，{a_n}的通項公式是a_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+4}$．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，兩邊取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3{a}_{n}}$，變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），利用等比數列的通項公式即可得出．

解答 解：由a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，兩邊取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3{a}_{n}}$，
變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比數列，首項為$\frac{4}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{4}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴a_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+4}$．
故答案為：a_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+4}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．