Question

已知橢圓E：

x2

m2

+

y2

n2

=1過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（1，0），其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y=

2

8

x²的焦點(diǎn)重合，C為E上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E所在平面上的兩點(diǎn)M，G同時(shí)滿(mǎn)足：①

.

GA

+

.

GB

+

.

GC

=

.

0

；②|

.

MA

|=|

.

MB

|=|

.

MC

|．試問(wèn)直線(xiàn)MG的斜率是否為定值，若為定值求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線(xiàn)的綜合

專(zhuān)題：向量與圓錐曲線(xiàn)

分析：（Ⅰ）化拋物線(xiàn)方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由題意得到橢圓的長(zhǎng)半軸，再由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)重合得到橢圓的半焦距，結(jié)合隱含條件得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，由①②可知G為三角形重心，M為三角形外心，把G點(diǎn)坐標(biāo)用C點(diǎn)坐標(biāo)表示，再設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，由|

.

MA

|=|

.

MC

|得到B，C坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合C點(diǎn)在橢圓上可得M的坐標(biāo)，則MG所在直線(xiàn)斜率可求．

解答： 解：（Ⅰ）由y=

2

8

x²，得x2=4

2

y，
∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

2

)，
由題意知m²=1，
又c=

2

，
∴n2=m2+(

2

)2=1+2=3，
∴橢圓E的方程為x2+

y2

3

=1；
（Ⅱ）設(shè)C（x₀，y₀），
由

.

GA

+

.

GB

+

.

GC

=

.

0

可知G為△ABC的重心，
則G(

x0

3

，

y0

3

)．
由|

.

MA

|=|

.

MB

|=|

.

MC

|知M為△ABC的外心，
故設(shè)M（0，y₁），
由|

.

MA

|=|

.

MC

|，得1+y12=x02+(y0-y1)2，
整理得：x02+y02-2y0y1=1．
又x02+

y02

3

=1，
∴

2

3

y02-2y0y1=0．
∴y₀=3y₁，
則M（0，

y0

3

）．
∴k_MG=0．
即直線(xiàn)MG的斜率是定值0．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐曲線(xiàn)的綜合題，考查橢圓方程的求法，考查了由向量關(guān)系判斷三角形的重心和外心，體現(xiàn)了整體代換思想方法，是壓軸題．