Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=11，AD=7，AA₁=12．一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn)E（4，3，12），遇長(zhǎng)方體的面反射（反射服從光的反射原理），將第i-1次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為l_i（i=2，3，4），l₁=AE，將線段l₁，l₂，l₃，l₄豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：真題集萃,空間中的點(diǎn)的坐標(biāo),點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)平面反射定理，列出反射線與入射線的關(guān)系，得到入射線與反射平面的交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出距離，即可求解．

解答： 解：根據(jù)題意有：
A的坐標(biāo)為：（0，0，0），B的坐標(biāo)為（11，0，0），C的坐標(biāo)為（11，7，0），D的坐標(biāo)為（0，7，0）；
A₁的坐標(biāo)為：（0，0，12），B₁的坐標(biāo)為（11，0，12），C₁的坐標(biāo)為（11，7，12），D₁的坐標(biāo)為（0，7，12）；
E的坐標(biāo)為（4，3，12）
（1）l₁長(zhǎng)度計(jì)算
所以：l₁=|AE|=

(4-0)2+(3-0)2+(12-0)2

=13．
（2）l₂長(zhǎng)度計(jì)算
將平面A₁B₁C₁D₁沿Z軸正向平移AA₁個(gè)單位，得到平面A₂B₂C₂D₂；顯然有：
A₂的坐標(biāo)為：（0，0，24），B₂的坐標(biāo)為（11，0，24），C₂的坐標(biāo)為（11，7，24），D₂的坐標(biāo)為（0，7，24）；
顯然平面A₂B₂C₂D₂和平面ABCD關(guān)于平面A₁B₁C₁D₁對(duì)稱．
設(shè)AE與的延長(zhǎng)線與平面A₂B₂C₂D₂相交于：E₂（x_E2，y_E2，24）
根據(jù)相似三角形易知：
x_E2=2x_E=2×4=8，
y_E2=2y_E=2×3=6，
即：E₂（8，6，24）
根據(jù)坐標(biāo)可知，E₂在長(zhǎng)方形A₂B₂C₂D₂內(nèi)．
根據(jù)反射原理，E₂在平面ABCD上的投影即為AE反射光與平面ABCD的交點(diǎn)．
所以F的坐標(biāo)為（8，6，0）．
因此：l₂=|EF|=

(8-4)2+(6-3)2+(0-12)2

=13．
（3）l₃長(zhǎng)度計(jì)算
設(shè)G的坐標(biāo)為：（x_G，y_G，z_G）
如果G落在平面BCC₁B₁；
這個(gè)時(shí)候有：x_G=11，y_G≤7，z_G≤12
根據(jù)反射原理有：AE∥FG
于是：向量

AE

與向量

FG

共線；
即有：

AE

=λ

FG

因?yàn)椋?span id="ibtlmzj" class="MathJye">

AE

=（4，3，12）；

FG

=（x_G-8，y_G-6，z_G-0）=（3，y_G-6，z_G）
即有：（4，3，12）=λ（3，y_G-6，z_G）
解得：y_G=

33

4

，z_G=9；
故G的坐標(biāo)為：（11，

33

4

，9）
因?yàn)椋?span id="8wk2djq" class="MathJye">

33

4

＞7，故G點(diǎn)不在平面BCC₁B₁上，
所以：G點(diǎn)只能在平面DCC₁D₁上；
因此有：y_G=7；x_G≤11，z_G≤12
此時(shí)：

FG

=（x_G-8，y_G-6，z_G-0）=（x_G-8，1，z_G）
即有：（4，3，12）=λ（x_G-8，1，z_G）
解得：x_G=

28

3

，z_G=4；
滿足：x_G≤11，z_G≤12
故G的坐標(biāo)為：（

28

3

，7，4）
所以：l₃=|FG|=

( 28 3 -8)2+(7-6)2+(4-0)2

=

13

3

（4）l₄長(zhǎng)度計(jì)算
設(shè)G點(diǎn)在平面A₁B₁C₁D₁的投影為G’，坐標(biāo)為（

28

3

，7，12）
因?yàn)楣饩�經(jīng)過(guò)反射后，還會(huì)在原來(lái)的平面內(nèi)；
即：AEFGH共面
故EG的反射線GH只能與平面A₁B₁C₁D₁相交，且交點(diǎn)H只能在A₁G'；
易知：l₄＞|GG’|=12-4=8＞l₃．
根據(jù)以上解析，可知l₁，l₂，l₃，l₄要滿足以下關(guān)系：
l₁=l₂；且l₄＞l₃
對(duì)比ABCD選項(xiàng)，可知，只有C選項(xiàng)滿足以上條件．
故本題選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察的空間中點(diǎn)坐標(biāo)的概念，兩點(diǎn)間的距離公式，解法靈活，屬于難題．