Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求正數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減；當(dāng)時(shí)， 在遞增；當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增．（2）或．

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，求得導(dǎo)函數(shù)，并對(duì)分類討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)切點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入方程求得切點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；聯(lián)立直線方程與函數(shù)解析式，由切線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)可知聯(lián)立后的方程有且僅有一個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，并求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分類討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而求得正數(shù)的取值范圍．

（1）函數(shù)，定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在遞增；

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在遞增；

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在遞減，

時(shí)，，在遞增；

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在遞增，

時(shí)，，在遞減；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減；

當(dāng)時(shí)， 在遞增；

當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增．

（2）當(dāng)時(shí)，代入函數(shù)解析式可得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為；

代入導(dǎo)函數(shù)可得切線的斜率為，

由點(diǎn)斜式可得切線方程為，化簡(jiǎn)可得，

則整理可得，

令，

由題意可知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，

1 當(dāng)時(shí)，由，解得.

且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

所以是唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．

且，故滿足題意．

2 當(dāng)時(shí)．由解得，．

（1）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，

所以滿足題意．

（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以．

又存在，所以，

．

在內(nèi)，存在零點(diǎn)，所以至少有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意．

當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞減，所以．

又存在，并注意到，，

，所以在內(nèi)存在零點(diǎn)，

從而至少有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意．

綜上所述，或．