Question

【題目】如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分別是線段BE，DC的中點.

（Ⅰ）求證：平面 ；

（Ⅱ）求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） ．

【解析】解法一：（Ⅰ）如圖，取的中點，連接，，又G是BE的中點，，

又F是CD中點，，由四邊形ABCD是矩形得，，所以．從而四邊形是平行四邊形，所以，,又，所以．

（Ⅱ）如圖，在平面BEC內，過點B作,因為．

又因為AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ

以B為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A（0,0,2），B（0,0,0），E（2,0,0），F（2,2,1）．因為AB平面BEC，所以為平面BEC的法向量，

設為平面AEF的法向量.又

由取得.

從而

所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為．

解法二：（Ⅰ）如圖，取中點，連接，，又是的中點，可知，

又面，面，所以平面．

在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分別是ＡＢ，ＣＤ的中點得．

又面，面，所以面．

又因為，面，面，

所以面平面，因為面，所以平面．

（Ⅱ）同解法一．