Question

5．設a=${∫}_{0}^{π}$sinxdx，則（a$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）⁶展開式的常數項為（　　）

• A． -20
• B． 20
• C． -160
• D． 160

Answer 1

分析 根據定積分的計算求出a的值，利用二項式定理的通項公式，令x的指數為0，可得常數項．

解答 解：由a=${∫}_{0}^{π}$sinxdx，
可得：$a=（{-cosx}）|_0^π=（{-cosπ}）-（{-cos0}）=2$，
∴$（a\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}{）^6}=（2\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}{）^6}$．
由（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）⁶展開式的通項為${T_{r+1}}=C_6^r•{2^{6-r}}•{x^{\frac{6-2r}{2}}}$，
令$\frac{6-2r}{2}=0，r=3$，
故得展開式的常數項為${T_4}=C_6^3•{2^3}=160$．
故選：D．

點評 本題考查了定積分的計算和二項式定理的通項公式的運用．求解常數項問題．屬于基礎題．