Question

（2013•濰坊一模）已知數列{a_n}的各項排成如圖所示的三角形數陣，數陣中每一行的第一個數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成等差數列{b_n}，S_n是{b_n}的前n項和，且b₁=a₁=1，S₅=15．
（ I ）若數陣中從第三行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，已知a₉=16，求a₅₀的值；
（Ⅱ）設Tn=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

，求T_n．

Answer 1

分析：（ I ）依題意，可求得b_n=n，設從第三行起每行的公比都是q，（q＞0），由a₉=16可求得q，而a₅₀是數陣中第10行第5個數，利用等比數列的通項公式可求得其值；
（Ⅱ）由于S_n=

n(n+1)

2

，利用裂項法可知

1

Sn

=2（

1

n

-

1

n+1

），再用累加法即可求得T_n．

解答：解：（ I ）∵{b_n}為等差數列，設公差為d，b₁=1，S₅=15，
∴S₅=5+10d=15，d=1，
∴b_n=1+（n-1）×1=n…2分
設從第三行起每行的公比都是q，且q＞0，a₉=b₄q²=4q²=16，故q=2…4分
∴1+2+3+…+9=45，
故a₅₀是數陣中第10行第5個數，
而a₅₀=b₁₀q⁴=10×2⁴=160…7分
（Ⅱ）∵S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

…8分
∴T_n=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n(2n+1)

=2（

1

n+1

-

1

n+2

+

1

n+2

-

1

n+3

+…+

1

2n

-

1

2n+1

）
=2（

1

n+1

-

1

2n+1

）
=

2n

(n+1)(2n+1)

…12分

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，突出考查等差數列與等比數列的通項公式，考查裂項法與累加法求和，屬于難題．