Question

（2013•濰坊一模）已知數列{a_n}的各項排成如圖所示的三角形數陣，數陣中每一行的第一個數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成等差數列{b_n}，S_n是{b_n}的前n項和，且b₁=a₁=1，S₅=15．
（ I ）若數陣中從第三行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，已知a₉=16，求a₅₀的值；
（Ⅱ）設Tn=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

，當m∈[-1，1]時，對任意n∈N^*，不等式t3-2mt-

8

3

＞Tn恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由等差數列{b_n}滿足b₁=a₁=1，S₅=15．求出數列的公差后，可得數列的通項公式，結合數陣中從第三行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，a₉=16，可求出公比，進而求出a₅₀的值；
（Ⅱ）由（1）求出S_n的表達式，利用裂項相消法求出T_n的表達式，進而將不等式恒成立問題，轉化為最值問題，利用導數法，可得答案．

解答：解：（I）設等差數列{b_n}的公差為d，
∵b₁=1，S₅=5+10d=15．
解得d=1
∴b_n=n
∴b₄=a₇=4，
設第三行開始，每行的公比都是q，且q＞0
則a₉=a₇•q²=4q²=16
解得q=2
又由前9行共有1+2+3+…+9=45個數
故a₅₀是數列第10行第5個數
故a₅₀=b₁₀•q⁴=10×16=160
（II）由（I）易得S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

∴Tn=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n•(2n+1)

=2（

1

n+1

-

1

n+2

+

1

n+2

-

1

n+3

+…+

1

2n

-

1

2n+1

）
=2（

1

n+1

-

1

2n+1

）
=

2n

(n+1)(2n+1)

令f（x）=

2x

(x+1)(2x+1)

（x≥1）
∴f′（x）=

2-4x2

(x+1)2(2x+1)2

，（x≥1）
由x≥1時，f′（x）＜0，故f（x）在[1，+∞）上為減函數
∴T_n隨n的增大而減小，故當n=1時T_n取最大值T₁=

1

3

若不等式t3-2mt-

8

3

＞Tn恒成立，
則t3-2mt-

8

3

＞

1

3

恒成立，
即t³-2mt-3＞0恒成立，
令g（m）=t³-2mt-3，m∈[-1，1]
則

g(-1)＞0 g(1)＞0

即

2t+t2-3＞0 -2t+t2-3＞0

解得t＜-3或t＞3

點評：本題考查的知識點是等差數列，等比數列，其中（I）的關鍵求出數列的通項公式，（II）的關鍵是利用裂項相消法求出T_n的表達式．