Question

【題目】已知遞增數列的前項和為，且滿足，.

（1）求證：數列為等差數列；

（2）試求所有的正整數，使得為整數；

（3）證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據，得出，利用，即可得出，或，再結合題意為遞增數列，確定得，結合等差數列定義法，即可證出數列為等差數列；

（2）由（1）知，數列為等差數列，首項為，公差，則，化簡得，結合和，則且為奇數，即可求出正整數；

（3）由，利用放縮法和裂項相消法求和得出，進而得出，要證，則需證，轉化為證，

當時，上式顯然成立，時，原不等式左邊為，原不等式右邊為，則原不等式成立，從而即可證明.

解：（1）由題可知，，，

則①，

得②，

由①-②得：，

即：，

即：，

所以或，

即：或，

若，則有，而，所以，

即，這與數列遞增矛盾，所以應舍去，

所以，故數列為等差數列.

（2）由（1）知，數列為等差數列，首項為，公差，

則，

故：

，

即，

因為，所以，

由于，則且為奇數，

所以，故.

（3）由（2）可知，，則，

由于，

即：

所以

即：，

要證，則需證，

即證：，

化為：，

即為：，

當時，上式顯然成立，即成立，

又時，原不等式左邊，原不等式右邊，則原不等式成立，

所以綜上可得：.