Question

【題目】已知函數 ．
（1）設函數h（x）=g（x）﹣f（x），求函數h（x）在區間[2，4]上的值域；
（2）定義min（p，q）表示p，q中較小者，設函數H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）， ①求函數H（x）的單調區間及最值；
②若關于x的方程H（x）=k有兩個不同的實根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，

函數g（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，

∴函數h（x）在區間[2，4]上單調遞增，

故h（2）≤h（x）≤h（4），即0≤h（x）≤13，

所以函數在區間[2，4]上的值域為[0，13]

（2）解：①在同一坐標系中，作出f（x），g（x）的圖象如圖所示，

根據題意得，H（x）= ，

由（1）知，y=2x在區間（0，2]上單調遞增，

在區間上單調遞減，

故H（x）max=H（2）=4．

∴函數H（x）的單調遞增區間為（0，2]，單調遞減區間為（2，+∞），

H（x）有最大值4，無最小值．

②∵ 在[2，+∞）上單調遞減，∴ ，

又g（x）=2x在（0，2]上單調遞增，∴1＜2x≤4，

∴要使方程H（x）=k有兩個不同的實根，

則需滿足2＜k＜4，

即實數k的取值范圍是（2，4）

【解析】（1）根據函數f（x），g（x）的單調性，求出h（x）的單調性，求出函數h（x）的值域即可；（2）①根據函數f（x），g（x）的圖象求出H（x）的最大值，②根據H（x）的范圍，求出k的范圍即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．