Question

已知數列{a_n}的前n項S_n=pⁿ+q(p≠0,p≠1),求數列{a_n}是等比數列的充要條件.

Answer 1

證明略

a₁=S₁=p+q
當n≥2時，a_n=S_n－S_n－1=p^n－1(p－1)
∵p≠0,p≠1,∴=p
若{a_n}為等比數列，則=p
∴=p,
∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1
這是{a_n}為等比數列的必要條件.
下面證明q=－1是{a_n}為等比數列的充分條件
當q=－1時，∴S_n=pⁿ－1(p≠0,p≠1)，a₁=S₁=p－1
當n≥2時，a_n=S_n－S_n－1=pⁿ－p^n－1=p^n－1(p－1)
∴a_n=(p－1)p^n－1  (p≠0,p≠1)
=p為常數
∴q=－1時，數列{a_n}為等比數列即數列{a_n}是等比數列的充要條件為q=－1.