Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問數(shù)列{lga_n}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)

Answer 1

{lga_n}的前5項(xiàng)和最大

解法一: 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N^*,依題意有

化簡(jiǎn)得.
設(shè)數(shù)列{lga_n}前n項(xiàng)和為S_n,則
S_n=lga₁+lga₁q²+…+lga₁q^n－1=lga₁ⁿ·q^{1+2+…+(n－1)}
=nlga₁+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3
=(－)·n²+(2lg2+lg3)·n
可見，當(dāng)n=時(shí)，S_n最大.
而=5,故{lga_n}的前5項(xiàng)和最大.
解法二: 接前，,于是lga_n=lg［108()^n－1］=lg108+(n－1)lg,
∴數(shù)列{lga_n}是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列，
令lga_n≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,
∴n≤=5.5. 
由于n∈N^*,可見數(shù)列{lga_n}的前5項(xiàng)和最大.