Question

【題目】已知關于的不等式.

（1）當時，解不等式；

（2）如果不等式的解集為空集，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）當時，不等式變為。由絕對值的意義，按絕對值號內的的正負，分三種情況討論：當時，不等式變為；當時，不等式變為，恒成立，所以符合不等式；當時，不等式變為。取三種情況的并集，可得原不等式的解集。（2）解法一：構造函數與，原不等式的解集為空集， 的最小值比大于或等于，作出與的圖象. 只須的圖象在的圖象的上方，或與重合， 。解法二：構造函數，討論絕對值號內式子得正負去掉絕對值可得， ，求每一段函數的值域，可得函數的最小值=1， 小于等于函數的最小值1.解法三，由不等式可得，當且僅當時，上式取等號，∴.

試題解析：解：（1）原不等式變為.

當時，原不等式化為，解得，∴

當時，原不等式化為，∴ .

當時，原不等式化為，解得，∴ .

綜上，原不等式解集為.

（2）解法一：作出與的圖象.

若使解集為空集，

只須的圖象在的圖象的上方，或與重合，

∴，所以的范圍為.

解法二： ，

當時， ，

當時， ，

當時， ，

綜上，原問題等價于，∴ .

解法三：∵，當且僅當時，上式取等號，∴.