Question

1．拋物線C：y²=4x的焦點為F，設過點F的直線l交拋物線與A，B兩點，且$|{AF}|=\frac{4}{3}$，則|BF|=4．

Answer 1

分析 根據拋物線方程可求得焦點坐標和準線方程，設過F的直線方程，與拋物線方程聯立，整理后，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據韋達定理可求得x₁x₂的值，又根據拋物線定義可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入 $\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$可得其值為1，再由|AF|=4，即可得到|BF|．

解答 解：易知F坐標（1，0）準線方程為x=-1．
設過F點直線方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程，得 k²（x-1）²=4x．
化簡后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁x₂=1
根據拋物線性質可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{{x}_{1}+1+{x}_{2}+1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=1，
又由$|{AF}|=\frac{4}{3}$，可得$\frac{3}{4}+\frac{1}{|BF|}=1$，則|BF|=4．．
故答案為：4

點評 本題主要考查拋物線的應用和拋物線定義．對于過拋物線焦點的直線與拋物線關系，常用拋物線的定義來解決．