Question

【題目】“五一”期間，甲乙兩個商場分別開展促銷活動.

（Ⅰ）甲商場的規則是：凡購物滿100元，可抽獎一次，從裝有大小、形狀相同的4個白球、4個黑球的袋中摸出4個球，中獎情況如下表：

摸出的結果	獲得獎金（單位：元）
4個白球或4個黑球	200
3個白球1個黑球或3個黑球1個白球	20
2個黑球2個白球	10

記為抽獎一次獲得的獎金，求的分布列和期望.

（Ⅱ）乙商場的規則是：凡購物滿100元，可抽獎10次.其中，第次抽獎方法是：從編號為的袋中（裝有大小、形狀相同的個白球和個黑球）摸出個球，若該次摸出的個球顏色都相同，則可獲得獎金元；記第次獲獎概率.設各次摸獎的結果互不影響，最終所獲得的總獎金為10次獎金之和.

①求證：；

②若某顧客購買120元的商品，不考慮其它因素，從獲得獎金的期望分析，他應該選擇哪一家商場？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分布列見解析，期望為20；（Ⅱ）①證明見解析；②選擇甲商場.

【解析】

（Ⅰ）的所有可能數值為為200，20，10，分別求出概率，由此能求出的分布列和期望；

（Ⅱ）①記，2，3，，為第次抽獎獲得的獎金，的取值為，0，求出，再證明；②由，即在甲商場抽獎得獎金的期望值更高，故選甲商場．

（Ⅰ）的所有可能數值為為200，20，10，

，

，

，

．

（Ⅱ）①記，2，3，，為第次抽獎獲得的獎金，的取值為，0，

且，

則，

所以

.

所以在定義域內單調遞減，所以.

所以；

②由題得，，2，3，，10，

記為在乙商場抽獎獲得的總獎金，則，

，即在甲商場抽獎得獎金的期望值更高，故選甲商場．