Question

【題目】如圖，已知菱形與直角梯形所在的平面互相垂直，其中，，，，為的中點

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設為線段上一點，，若直線與平面所成角的正弦值為，求的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ） .

【解析】

試題

（Ⅰ）要證線面平行，就要證線線平行，考慮到是中點，因此取中點，可得與平行且相等，從而可證得，所以可證得線面平行；

（Ⅱ）求二面角，可建立空間直角坐標系，用向量法求解，考慮到平面與平面垂直，是菱形，因此取中點，則有，因此，所以可作，以為軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出二面角兩個面的法向量，由法向量的夾角可得二面角；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的坐標系，利用已知得點坐標，從而可得向量的坐標，利用向量與平面的法向量夾角的正弦值可求得，最后可得的長度.

試題解析：

（Ⅰ）取的中點，連接，則∥∥ ,且，所以四邊形為平行四邊形

所以∥，又平面， 平面，

則∥平面.

（Ⅱ）取 中點，連接，則 因為平面 平面，交線為，則平面

作∥，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則

于是 ，設平面的法向量 ，

則 令，則

平面的法向量

所以

又因為二面角為銳角，所以其余弦值為.

（Ⅲ）則 ，

，而平面的法向量為，

設直線與平面所成角為，

于是

于是, .