Question

【題目】在直角坐標系中，曲線C的參數方程： ，直線l的參數方程為 ．
（1）若直線l與曲線C只有一個公共點，求實數a；
（2）若點P，Q分別為直線l與曲線C上的動點，若 ，求實數a．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C的參數方程： ，

∴曲線C的普通方程為 =1，

∵直線l的參數方程為 ，

∴直線l的普通方程為x+2y﹣a﹣2=0，

聯立 ，得16y2﹣（12a+24）y+3a2+12a=0，

∵直線l與曲線C只有一個公共點，

∴△=[﹣（12a+24）]2﹣4×16×（3a2+12a）=﹣a2﹣4a+12=0，

解得a=2或a=﹣6

（2）解：設Q（2cosθ， ），

點Q到直線l的距離d= = |4sin（ ）﹣a﹣2|，

∵點P，Q分別為直線l與曲線C上的動點， ，

∴當sin（ ）=1時，|PQ|min= |2﹣a|= ，

解得a=1或a=3

【解析】（1）由曲線C的參數方程求出曲線C的普通方程為 =1，由直線l的參數方程求出直線l的普通方程為x+2y﹣a﹣2=0，聯立 ，得16y2﹣（12a+24）y+3a2+12a=0，由直線l與曲線C只有一個公共點，利用根的判別式為0，能求出a．（2）設Q（2cosθ， ），求出點Q到直線l的距離d= |4sin（ ）﹣a﹣2|，由題意知當sin（ ）=1時，|PQ|min= |2﹣a|= ，由此能求出a．