Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為，，橢圓的長軸長與焦距之比為，過的直線與交于，兩點.

（1）當的斜率為時，求的面積；

（2）當線段的垂直平分線在軸上的截距最小時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）12（2）

【解析】

（1）結合橢圓性質，得到橢圓方程，聯解直線與橢圓方程，結合，計算面積，即可。（2）設出直線l的方程，代入橢圓方程，利用，建立關于k，m的式子，計算最值，即可。

解：（1）依題意，因，又，得，

所以橢圓的方程為，

設、，當時，直線：

將直線與橢圓方程聯立，

消去得，，解得，，，

所以 .

（2）設直線的斜率為，由題意可知，

由，消去得，

恒成立，，

設線段的中點，

設線段的中點，

則，，

設線段的垂直平分線與軸的交點為，則，得.

，

整理得：， ，等號成立時.

故當截距最小為時，，此時直線的方程為.