Question

【題目】如圖，已知橢圓 的左、右焦點分別為，，短軸的兩端點分別為，，線段，的中點分別為，，且四邊形是面積為8的矩形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過作直線交橢圓于，兩點，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）； （2）或 .

【解析】

（I）通過矩形的面積和對角線長相等列方程組，結合，解得的值，從而求得橢圓方程.（II）當直線的斜率不存在時，直接得出直線的方程，代入橢圓方程求得兩點的坐標，代入驗證出不符合題意.當直線的斜率存在時，設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，化簡后寫出韋達定理，將坐標代入，解方程求得直線的斜率，由此求得直線的方程.

（I）在矩形中，

所以四邊形是正方形，所以

又

，

∴橢圓C的方程為．

（II）由（I）可知，

1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=-2,

由

∴l：x=-2不滿足題意．

2）當l的斜率為k時，設l的方程為，

由

則

綜上所述，直線l的方程為或