Question

【題目】Fibonacci數列又稱黃金分割數列，因為當n趨向于無窮大時，其相鄰兩項中的前項與后項的比值越來越接近黃金分割數．已知Fibonacci數列的遞推關系式為．

（1）證明：Fibonacci數列中任意相鄰三項不可能成等比數列；

（2）Fibonacci數列{an}的偶數項依次構成一個新數列，記為{bn}，證明：{bn＋1-H2·bn}為等比數列．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）利用反證法，假設存在，，三項成等比數列，則，進而由已知關系證得是無理數，這與其遞推公式中反應的為有理數矛盾，得證；

（2）由題表示，進而由已知的遞推關系表示出的遞推公式，再構造等比數列，進而由一一對應關系計算出對應參量，最后由等比數列定義得證.

（1）證明：（反證法）假設存在，，三項成等比數列，則，

所以，所以，解得，

由條件可知Fibonacci數列的所有項均大于0，所以，

又Fibonacci數列的所有項均為整數（由遞推公式），所以應該為有理數，

這與（無理數）矛盾（其相鄰兩項中的前項與后項的比值越來越接近黃金分割數，而不是恰好相等），

所以假設不成立，故原命題成立．

（2）證明：由條件得，，

所以，

即，

設，則或

所以或

所以，所以為等比數列，公比為．