Question

【題目】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，將沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且.

（1）求證；平面平面ABCE；

（2）求點(diǎn)E到平面PAB的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出，，從而平面PAE，由此能證明平面平面ABCE.

（2）推導(dǎo)出，平面PAE，以E為原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)E到平面PAB的距離.

（1）∵在平行四邊形ABCD中，，，，

點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，將沿AE折起，

使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且.

∴，

∴，

∵，∴，

∵，∴平面PAE，

∵平面ABCE，∴平面平面ABCE.

解：（2）∵，，，

∴，∴.

∵平面PAE，，

∴平面PAE，

∴EA，EC，EP兩兩垂直，

以E為原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

，，

設(shè)平面PAB的法向量，

則，

取，得，

∴點(diǎn)E到平面PAB的距離.