Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線C交于A，B兩點，若，則.

（1）求拋物線C的方程；

（2）分別過點A，B作拋物線C的切線、，若，分別交x軸于點M，N，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設，，則方程與拋物線方程聯立，可得，根據拋物線的定義可得解得，可得拋物線C的方程為.

（2）根據，再換元得，利用導數得單調性，利用單調性可得最值.

（1）拋物線的焦點為，

設，，則方程與拋物線方程聯立，

整理得，，，

若，根據拋物線的定義可得，

∴，即拋物線C的方程為.

（2）由（1）知且，，，，

所以切線的方程為即，①

同理切線的方程為，②

聯立①②得，

即切線與的交點為，

由切線，得，同理可得，

∴

又∵，

點P到直線的距離為

∴，

∴四邊形的面積

令，則，

時，成立，S單調遞增，

∴當，即時，四邊形的面積的最小值為