Question

【題目】已知O為坐標原點，點，，點B在線段CD上，且，過點作的平行線交于點，設點的軌跡為．

（1）求曲線的方程；

（2）已知直線與圓相切于點，且與曲線相交于，兩點，的中點為，求三角形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據已知條件及橢圓的定義即可得到曲線的方程.

（2）根據直線的斜率存在且不為，利用直線與圓相切得到，聯立直線與橢圓，利用韋達定理求出的中點坐標及的垂直平分線方程，利用圓心到直線的距離求出，再化簡求其最值即可得到三角形面積的最大值.

（1）如圖所示：

因為，，

故，所以，

故，

所以點的軌跡為以為焦點，的橢圓，

故，，

所以點的軌跡方程為：.

（2）由題意，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為，

因為直線與圓相切，所以，即：.

由消去得：.

設，由韋達定理知：

，.

所以中點的坐標為，

所以的垂直平分線方程為，

即.

為點到垂直平分線的距離，

所以.

將代入得

（當且僅當，即時，取等號）.

所以三角形的面積為，

綜上所述，三角形的面積的最大值為.