Question

【題目】已知函數f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[﹣1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R，且 =m，求證：a+2b+3c≥9．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由題意可得m﹣|x|≥0的解集為[﹣1，1]，

即|x|≤m 的解集為[﹣1，1]，故m=1．

（2）證明：由a，b，c∈R，且 =1，

∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）

=1+ +1+ +1

=3+ + ≥3+6=9，當且僅當 =1時，等號成立．

所以a+2b+3c≥9

【解析】（1）由條件可得 f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集為[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集為[﹣1，1]，故m=1．（2）根據a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）=1+ +1+ +1，利用基本不等式證明它大于或等于9．
【考點精析】利用不等式的證明對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．