Question

設函數f（x）=2lnx+mx-x²．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+n，求實數m，n的值；
（Ⅱ）若m＞-4，求證：當a＞b＞0時，有

f(a)-f(b)

a2-b2

＞-2；
（Ⅲ）若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₀=

x1+x2

2

，求證f′（x₀）＜0．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,導數的運算

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數，利用若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+n，建立方程，即可求實數m，n的值；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+2x²=x²+2lnx+mx，證明g（x）在（0，+∞）上遞增，即可證明結論；
（Ⅲ）f′（x₀）=2（

2

x1+x2

-

lnx1-lnx2

x1-x2

）=

2

x1-x2

•[

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）]，證明

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）=

2(t-1)

t+1

-lnt＞0，根據

2

x1-x2

＜0，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=2lnx+mx-x²，
∴f′（x）=m+

2

x

-2x，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+n，
∴f′（1）=m+2-2=2，
∴m=2，
∵f（1）=2-1+2×1+n，
∴n=-1；
（Ⅱ）證明：設g（x）=f（x）+2x²=x²+2lnx+mx．
∴g′（x）=2x+m+

2

x

∵m＞-4，x＞0，
∴g′（x）=2x+m+

2

x

≥m+4＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上遞增，
∵a＞b＞0，
∴g（a）＞g（b），
∴f（a）+2a²＞f（b）+2b²，
∴

f(a)-f(b)

a2-b2

＞-2；
（Ⅲ）證明：∵函數f（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴2lnx₁+mx₁-x₁²=0，2lnx₂+mx₂-x₂²=0，
∴m=x₁+x₂-2•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
∵f′（x）=m+

2

x

-2x，x₀=

x1+x2

2

，
∴f′（x₀）=2（

2

x1+x2

-

lnx1-lnx2

x1-x2

）=

2

x1-x2

•[

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）]，
令t=

x1

x2

，則t∈（0，1），
∴

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）=

2(t-1)

t+1

-lnt
設h（t）=

2(t-1)

t+1

-lnt（t∈（0，1）），
則h′（t）=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0，
∴h（t）在（0，1）上單調遞減，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）=

2(t-1)

t+1

-lnt＞0，
∵

2

x1-x2

＜0，
∴f′（x₀）＜0．

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，正確構造函數是關鍵．