Question

如圖，在三棱錐中，，，設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為．

（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在棱上，且，試求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）根據(jù)題意，由于已知條件可知平面，那么利用線面垂直的性質(zhì)定理得到。
（2）

解析試題分析：證明：（I）方法一：由平面得，
又，則平面，
故，  2分
同理可得，則為矩形，又，
則為正方形，故．  4分
方法二：由已知可得，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則平面，故平面平面，則頂點(diǎn)在底面上的射影必在，故．
（II）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角， 7分
由已知可得，則，故，則，
又，則，  9分
故，即二面角的余弦值為． 11分
方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標(biāo)系，

則，
可得， 7分
則，易知平面
的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為
，則由得， 9分
則，即二面角的余弦值為． 11分
考點(diǎn)：線面垂直的性質(zhì)定理以及二面角的大小
點(diǎn)評：主要是考查了線面垂直以及二面角的平面角的求解的運(yùn)用屬于基礎(chǔ)題。