Question

已知等差數列{a_n}的前n項和是S_n，a₁=1，數列{b_n}對于任意的n∈N^*都有2ⁿS_n=n²b_n成立，且b₃=a₂+a₃．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）如果數列{b_n}的前n項和為T_n，對于任意的n∈N^*都有k（T_n+2）≥S_2n恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等差數列的通項公式，即可求出數列的公差，即可求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求出數列{b_n}的前n項和為T_n，將不等式恒成立進行轉化，構造數列，求出數列的最值即可求出k的取值服務．

解答： 解：（1）對于任意的n∈N^*都有2ⁿS_n=n²b_n成立，當n=3時，8（3a₁+3d）=9b₃，
∵b₃=a₂+a₃=2a₁+3d=2+3d，
∴解得d=2，
當d=2時，a_n=2n-1，S_n=n²，
故b_n=2ⁿ．
（2）∵S_n=n²，
∴T_n=2ⁿ⁺¹-2，
k（T_n+2）≥S_2n恒成立等價為k•2ⁿ⁺¹≥4n²，
即k≥

4n2

2n+1

恒成立，
設c_n=

4n2

2n+1

，則c_n+1-c_n=

4(n+1)2

2n+2

-

4n2

2n+1

=

-n2+2n+1

2n

≥0，
解得n≤1+

2

，
則c_n≤c₃=

9

4

，
即k≥

9

4

．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式的計算，以及數列求和的應用，考查學生的計算能力，綜合性較強，有一定的難度．