Question

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與軸的交點(diǎn)除外），直線(xiàn)交橢圓于另一個(gè)點(diǎn).

（1）當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，求的面積；

（2）①記直線(xiàn)的斜率分別為，求證：為定值；

②求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）①見(jiàn)解析②

【解析】

試題（1）先聯(lián)立直線(xiàn)的方程為與橢圓方程的方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出上的高，運(yùn)用三角形的面積公式求解；（2）先求出斜率的值，再計(jì)算其積進(jìn)行推算；先運(yùn)用直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系計(jì)算出向量的的坐標(biāo)形式，再運(yùn)用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行推證：

解：（1）由題意，焦點(diǎn)，

當(dāng)直線(xiàn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，則直線(xiàn)的方程為，即，

聯(lián)立，解得或(舍），即.

連，則直線(xiàn)，即 ，

而，.

故.

（2）解:法一：①設(shè)，且，則直線(xiàn)的斜率為，

則直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立化簡(jiǎn)得，

解得，

所以，，

所以為定值.

②由①知，，，

所以，

令

故，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

所以，即的取值范圍為.

解法二：①設(shè)點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為，

令，得.

所以，

所以(定值）.

②由①知，，，

所以，

.

令，則，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減,

所以，即的取值范圍為.