Question

若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM（O為原點）的斜率為

2

2

，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：欲求橢圓方程，需求a、b，為此需要得到關于a、b的兩個方程，由OM的斜率為

2

2

．OA⊥OB，易得a、b的兩個方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．
∴（a+b）x²-2bx+b-1=0．
由x+y=1，ax²+by²=1，
∴

x1+x2

2

=

b

a+b

，

y1+y2

2

=1-

x1+x2

2

=

a

a+b

．
∴M（

b

a+b

，

a

a+b

）．
∵k_OM=

2

2

，∴b=

2

a．①
∵OA⊥OB，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵x₁x₂=

b-1

a+b

，y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂），
∴y₁y₂=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

2b

a+b

+

b-1

a+b

=

a-1

a+b

．
∴

b-1

a+b

+

a-1

a+b

=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=2（

2

-1），b=2

2

（

2

-1）．
∴所求方程為2（

2

-1）x²+2

2

（

2

-1）y²=1．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，直線與圓錐曲線的位置關系的問題．一般是把直線與圓錐曲線的方程聯立，充分利用判別式和韋達定理求得問題的解決．