Question

若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于點A，B，點M為AB的中點，直線OM（O為原點）的斜率為

2

，又OA⊥OB，求a，b．

Answer 1

分析：聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數關系求出點M的坐標，由直線OM的斜率為

2

得到關于a，b的一個方程，再由OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0得到關于a，b的另一方程，聯立求解a，b后驗證滿足△＞0即可．

解答：解：由

x+y=1 ax2+by2=1

消去y，得（a+b）x²-2bx+b-1=0．
當△=4b²-4（a+b）（b-1）=4（a+b-ab）＞0時，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2b

a+b

，x1x2=

b-1

a+b

．
弦AB的中點坐標為(

b

a+b

，

a

a+b

)．
∴OM所在直線斜率

a

b

=

2

    ①
∵OA⊥OB，即

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)
=2x1x2-(x1+x2)+1=

2(b-1)

a+b

-

2b

a+b

+1=1-

2

a+b

=0．
得：a+b=1    ②
由①②得：a=2

2

-2，b=4-2

2

．
滿足不等式△=4b²-4（a+b）（b-1）=4（a+b-ab）＞0．
∴a=2

2

-2，b=4-2

2

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數量積判斷兩個向量的垂直關系，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常采用“設而不求”的解題思想方法，該題是中檔題．