Question

已知拋物線，直線交拋物線于兩點，且．

（1）求拋物線的方程；
（2）若點是拋物線上的動點，過點的拋物線的切線與直線交于點，問在軸上是否存在定點，使得？若存在，求出該定點，并求出的面積的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）．（2）存在定點（0,1），．　

試題分析：（1）把代入，消去，整理得，
                     2分
過拋物線的焦點，
拋物線的方程為．                         6分
（2）切線方程為，即，
                         8分
令，，
當時，，即，            10分
，，
點是拋物線的焦點，，

，
，       13分
不妨設，令，
，
在上遞減，在上遞增，
，
即當時，．　　　　　　　　　15分
點評：解決拋物線中的定值及最值問題的基本思想是建立目標函數和建立不等式（方程）關系，根據條件求解定值及最值，因此這里問題的難點就是如何建立目標函數和不等式（或等量關系）。建立目標函數的關鍵是選用一個合適變量，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據實際情況靈活處理。