Question

已知橢圓x²+by²=3a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點
（1）當時，求實數b的取值范圍；
（2）當時，AB的中點M與橢圓中心連線的斜率為時，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為圓x²+by²=3a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，所以方程組有兩相異實根，可以通過判別式△來判斷．
（2）設A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），由，，再根據中點坐標公式，和斜率公式可得．
解答：解：（1）解
∴x²（1+b）-2bx+b-3a=0
由題意得：△=4b²-4（1+b）（b-3a）＞0
解得b＜3
又因為b＞0且b≠1
∴0＜b＜3且b≠1

（2）設A（x₁，y₁） B（x₂，y₂） 由（1）
∴
整理得：b²+3b-3a-3ab+1=0，

AB中點M
由題意得：∴b=5
∴a=
所求橢圓方程為
點評：本題考查了直線與橢圓位置關系的判斷，做題時認真分析，找到切入點．