Question

已知橢圓x²+by²=3a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點
（1）當a=

1

4

時，求實數b的取值范圍；
（2）當|AB|=2

2

時，AB的中點M與橢圓中心連線的斜率為

1

5

時，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）因為圓x²+by²=3a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，所以方程組

x2+by2=3a x+y-1=0

有兩相異實根，可以通過判別式△來判斷．
（2）設A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），由

x2+by2=3a x+y-1=0

  得x2+b(1-x)2=3a，x1+x2=

2b

1+b

， x1x2=

b-3a

1+b

，再根據中點坐標公式，和斜率公式可得．

解答：解：（1）解

x2+by2=3a x+y-1=0

  得x2+b(1-x)2=3a
∴x²（1+b）-2bx+b-3a=0
由題意得：△=4b²-4（1+b）（b-3a）＞0
解得b＜3
又因為b＞0且b≠1
∴0＜b＜3且b≠1

（2）設A（x₁，y₁） B（x₂，y₂） 由（1）x1+x2=

2b

1+b

，  x1x2=

b-3a

1+b

∴|AB|=

1+1

，   

4b2 (1+b)2 -4× b-3a 1+b

=2

2

整理得：b²+3b-3a-3ab+1=0，
y1+y2=2-(x1+x2)=2-

2b

1+b

=

2

1+b

AB中點M(

b

1+b

，  

1

1+b

)
由題意得：KOM=

1 1+b

b 1+b

=

1

5

∴b=5
∴a=

41

18

所求橢圓方程為x2+5y2=

41

6

點評：本題考查了直線與橢圓位置關系的判斷，做題時認真分析，找到切入點．