Question

已知直線l與橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為2+

3

，2-

3

，向量

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），且

m

⊥

n

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）判斷△AOB的面積是否為定值，如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為2+

3

，2-

3

，確定橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）先利用向量知識，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，再分類討論，求出面積，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，∴

a=2 c= 3

，∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的方程為

y2

4

+x2=1；
（Ⅱ）△AOB的面積為定值1．
∵

m

⊥

n

，∴a²x₁x₂+b²y₁y₂=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0
①若直線l斜率不存在，設直線l的方程為x=p，則x₁=x₂=p，y₁=-y₂，
∵4x₁x₂+y₁y₂=0，∴4x12-y12=0
∵

y12

4

+x12=1，∴x1=±

2

2

，y1=±

2

∴S_△AOB=

1

2

|x1||y1|=1；
②若直線l斜率存在，設直線l的方程為y=kx+r，代入橢圓方程，可得（4+k²）x²+2krx+r²-4=0
∴x₁+x₂=-

2kr

4+k2

，x₁x₂=

r2-4

4+k2

∵4x₁x₂+y₁y₂=0
∴（4+k²）x₁x₂+kr（x₁+x₂）+r²=0
∴r²-4-

2k2r2

4+k2

+r²=0
∴2r²=4+k²，∴r²≥2
∴△=16（k²-r²+4）＞0
設原點O到直線l的距離為d，則S_△AOB=

1

2

d•|AB|=

1

2

×

|r|

k2+1

×

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2r2

k2+4

=1
綜上可知，△AOB的面積為定值1．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．