Question

已知動圓P過點且與直線相切．
（Ⅰ） 求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（Ⅱ） 設直線與軌跡E交于點A、B，M是線段AB的中點，過M作軸的垂線交軌跡E于N．
① 證明：軌跡E點N處的切線與AB平行；
② 是否存在實數，使？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

，故存在實數

解：（Ⅰ）依題意：E的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線方程
所以E的軌跡方程為：
（Ⅱ）設由得：
，

① 由得：
② 假設存在實數，使得，則
由軸知：
又
或（舍去）
故存在實數，使得