Question

已知函數和函數f（x）=ax³-x²+1（a為常數）
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若方程f（x）=0有三個不同的解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）函數f（x）=ax³-x²+1的導數為：
f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0?x₁=0，x₂=

2

3a

＞0  （a＞0）
不等式f′（x）＜0的解集是（0，

2

3a

），
∴當a＞0時，求函數f（x）的單調遞減區間是（0，

2

3a

）
（2）當a＞0時，由（1）可得函數f（x）=ax³-x²+1在（-∞，0）和（

2

3a

，+∞）上為增函數，
在（0，

2

3a

）上為減函數，而方程f（x）=0有三個不同的解
∴f（0）＞0且f(

2

3a

) ＜0，解之得a∈(0，

2 3

9

)
同理，得到當a＜0時，使方程f（x）=0有三個不同的解的a∈(-

2 3

9

，0)
綜上所述，得到符合題意的a的取值范圍是：a∈(-

2 3

9

，0)∪(0，

2 3

9

)