Question

已知函數f（x）=x²+a，g（x）=f（f（x）），a∈R．
（1）當a=-1時，分別求出函數f（x）和g（x）的最小值及它們對應的x值；
（2）是否存在實數A使得關于x的方程g（x）=0有實根，若存在，請求出A的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=-1代入，由二次函數的最小值可得答案；
（2）題意中的方程有實根等價于t²+2at+a²+a=0有非負的實根，滿足兩根和與積均非負，解之可得答案．

解答：解：（1）當a=-1時，f（x）=x²-1，
∴g（x）=f（f（x））=（x²-1）²-1，
故當x=0時，函數f（x）取最小值-1，
當x=±1時，函數g（x）取最小值-1
（2）由題意可知g（x）=f（f（x））=（x²+a）²+a
令x²=t，t∈[0，+∞），則上式可化為：y=t²+2at+a²+a
題意中的方程有實根等價于t²+2at+a²+a=0有非負的實根
由根與系數關系法可得

-2a≥0 a2+a≥0

，解得a≤-1
故存在，且a的取值范圍為：a≤-1

點評：本題考查二次函數的值域和零點，涉及根與系數關系，屬基礎題．