Question

（2008•武漢模擬）已知函數(shù)和函數(shù)f（x）=ax³-x²+1（a為常數(shù)）
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2），由條件a＞0得到不等式f′（x）＜0的解集是（0，

2

3a

），所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

2

3a

）；
（2）有關(guān)三次多項(xiàng)式的零點(diǎn)問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極大值和極小值與0比較大小的問題．方程f（x）=0有三個(gè)不同的解，即可轉(zhuǎn)化為[f（x）]_極大•[f（x）]_極小＜0，由此不難得出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=ax³-x²+1的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0⇒x₁=0，x₂=

2

3a

＞0  （a＞0）
不等式f′（x）＜0的解集是（0，

2

3a

），
∴當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

2

3a

）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可得函數(shù)f（x）=ax³-x²+1在（-∞，0）和（

2

3a

，+∞）上為增函數(shù)，
在（0，

2

3a

）上為減函數(shù)，而方程f（x）=0有三個(gè)不同的解
∴f（0）＞0且f(

2

3a

) ＜0，解之得a∈(0，

2 3

9

)
同理，得到當(dāng)a＜0時(shí)，使方程f（x）=0有三個(gè)不同的解的a∈(-

2 3

9

，0)
綜上所述，得到符合題意的a的取值范圍是：a∈(-

2 3

9

，0)∪(0，

2 3

9

)

點(diǎn)評：本題以三次多項(xiàng)式函數(shù)為例，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和三次多項(xiàng)式函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題．