Question

【題目】【2017北京西城區(qū)5月模擬】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）求函數(shù)的零點個數(shù)；

（Ⅱ）證明：是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）由，

得

令，得，或.

所以當時，函數(shù)有且只有一個零點：；當時，函數(shù)有兩個相異的零點：，.

（Ⅱ）①當時，恒成立，此時函數(shù)在上單調遞減，

所以，函數(shù)無極值.

②當時，，的變化情況如下表：

所以，時，的極小值為.

又時，，

所以，當時，恒成立.

所以，為的最小值.

故是函數(shù)存在最小值的充分條件.

③當時，，的變化情況如下表：

因為當時，，

又，

所以，當時，函數(shù)也存在最小值.

所以，不是函數(shù)存在最小值的必要條件.

綜上，是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.

點睛;本題注意考查了導數(shù)與函數(shù)的極值、最值的關系，屬于中檔題.涉及的考點有：用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，充分不必要條件的判斷，根的存在及個數(shù)判斷.考查了學生分析問題和轉化的能力以及分類討論思想.