Question

【題目】已知函數(shù) （a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范圍，使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）
（2）解： = = ，

∴f（x）是偶函數(shù)

（3）解：∵函數(shù)f（x）在定義域上是偶函數(shù)，

∴函數(shù)y=f（2x）在定義域上也是偶函數(shù)，

∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）+f（2x）＞0可滿足題意，

∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x3＞0，

∴只需 ，即 ，

∵a2x+ax+1＞0，

∴（ax）2﹣1＞0，解得a＞1，

∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）+f（2x）＞0在定義域上恒成立

【解析】（1）利用ax﹣1≠0即可求得函數(shù)f（x）的定義域；（2）由 可推知f（﹣x）=f（x），從而可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（3）利用（1）知f（x）為偶函數(shù)，可知當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x3＞0，從而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立，只需當(dāng)a＞1時(shí)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較，以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．