Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且與橢圓x²＋＝1有相同的離心率，斜率為k的直線l經過點M(0,1)，與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）＋＝1;（2）(－∞，)．

試題分析：(1)求出已知橢圓離心率，結合焦距2c=4，可得a，b；（2）聯立方程組，依據點在圓內部列出關系式求解.
試題解析：(1)∵橢圓C的焦距為4，∴c＝2.
又∵橢圓x²＋＝1的離心率為，∴橢圓C的離心率e＝＝＝，∴a＝2，b＝2.
∴橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)設直線l的方程為y＝kx＋1，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由消去y，得(1＋2k²)x²＋4kx－6＝0，∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
由(1)知橢圓C的右焦點F的坐標為(2,0)，
∵右焦點F在圓的內部，∴·<0.∴(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂<0，
即x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＋k²x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋1<0.∴(1＋k²)x₁x₂＋(k－2)(x₁＋x₂)＋5
＝(1＋k²)·＋(k－2)·＋5＝<0，∴k<.
經檢驗，當k<時，直線l與橢圓C相交．∴直線l的斜率k的取值范圍為(－∞，)．