Question

已知橢圓：，
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍；
（3）過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓：相交于四點，設(shè)原點到四邊形的一邊距離為，試求時滿足的條件.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用已知條件找出解出、即得；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組消去得到關(guān)于的方程，由求出的范圍；（3）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組消去到關(guān)于的方程，利用、韋達定理、點到直線的距離公式求解.
試題解析：（1）依題意，，解得，故橢圓的方程為.
（2）如圖，依題意，直線的斜率必存在，

設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
由韋達定理，，，
,
因為直線與橢圓相交，則，
即，解得或，
當為銳角時，向量，則，
即，解得，
故當為銳角時，.
如圖，

依題意，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，，由于，
，即，又，
          ①
聯(lián)立方程組，消去得，
由韋達定理得，，代入①得
，
令點到直線的距離為1，則，即，
，
整理得.