Question

已知P（x₀，y₀）是函數f（x）=lnx圖象上一點，在點P處的切線l與x軸交于點B，過點P作x軸的垂線，垂足為A．
（1）求切線l的方程及點B的坐標；
（2）若x₀∈（0，1），求△PAB的面積S的最大值，并求此時x₀的值．

Answer 1

分析：（1）先求出導函數f'（x），然后利用點斜式寫出在點P處的切線方程，令y=0，求出x的值即可求出點B的坐標；
（2）先求出AB，PA的長，然后得到△PAB的面積S，然后利用導數研究面積函數在（0，1）上的單調性，從而求出函數的最值．

解答：解：（1）∵f'（x）=

1

x

，…（2分）
∴過點P的切線方程為y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀）
即切線方程為：y=

1

x0

x+lnx₀-1…（4分）
令y=0，得x=x₀-x₀lnx₀，
即點B的坐標為（x₀-x₀lnx₀，0）…（6分）
（2）AB=x₀-x₀lnx₀-x₀=-x₀lnx₀，PA=|f（x₀）|=-lnx₀，
∴S=

1

2

AB•PA=

1

2

x₀（lnx₀）²…（9分）
S′=

1

2

ln²x₀+

1

2

x₀2lnx₀•

1

x0

=

1

2

lnx₀（lnx₀+2）…（11分）
由S′＜0得，

1

e2

＜x＜1，
∴x∈（0，

1

e2

）時，S單調遞增；x∈（

1

e2

，1）時S單調遞減；…（13分）
∴S_max=S（

1

e2

）=

2

e2

∴當x₀=

1

e2

，面積S的最大值為

2

e2

．…（14分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數在某點的切線方程，以及利用導數研究函數的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．