Question

（2011•開封一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上項點為B₁，右、右焦點為F₁、F₂，△B₁F₁F₂是面積為

3

的等邊三角形．
（I）求橢圓C的方程；
（II）已知P（x₀，y₀）是以線段F₁F₂為直徑的圓上一點，且x₀＞0，y₀＞0，求過P點與該圓相切的直線l的方程；
（III）若直線l與橢圓交于A、B兩點，設(shè)△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分別為G、H，請問原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)嗎？若在請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的面積公式和等邊三角形的性質(zhì)可得

1

2

b•2c=

3

，a=2c，又a²=b²+c²．即可解出．
（Ⅱ）由F₁F₂是圓的一條直徑，可得圓的方程為x²+y²=1．又P（x₀，y₀）是該圓在第一象限部分上的切線的切點，可得kl•

y0

x0

=-1，解得kl=-

x0

y0

．可得切線方程為y-y0=-

x0

y0

(x-x0)，又

x

2 0

+

y

2 0

=1，即可得出；．
（III）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），據(jù)重心定理可得G(

x1

3

，

y1

3

)，H(

x2

3

，

y2

3

)．若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)?

OH

•

OG

＜0?x₁x₂+y₁y₂＜0，聯(lián)立

x0x+y0y-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，可得y₁+y₂，y₁y₂，又x1x2=

1-y0y1

x0

•

1-y0y2

x0

，即可證明x₁x₂+y₁y₂＜0．

解答：解：（I）∵

1

2

b•2c=

3

，a=2c，a²=b²+c²．
解得c²=1，b²=3，a²=4，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）∵F₁F₂是圓的一條直徑，∴圓的方程為x²+y²=1，
又P（x₀，y₀）是該圓在第一象限部分上的切線的切點，
∴kl•

y0

x0

=-1，解得kl=-

x0

y0

．
∴切線方程為y-y0=-

x0

y0

(x-x0)，又

x

2 0

+

y

2 0

=1，
化為l：x₀x+y₀y-1=0．
∴切線方程為l：x₀x+y₀y-1=0．
（III）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則G(

x1

3

，

y1

3

)，H(

x2

3

，

y2

3

)．
若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，則

OH

•

OG

＜0，即

x1x2

9

+

y1y2

9

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
下面給出證明：聯(lián)立

x0x+y0y-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，
消去x整理為(4

x

2 0

+3

y

2 0

)y2-6y0y+3-12

x

2 0

=0，
∴y1+y2=

6y0

4 x 2 0 +3 y 2 0

，y1y2=

3-12 x 2 0

4 x 2 0 +3 y 2 0

，
∴x1x2=

1-y0y1

x0

•

1-y0y2

x0

=

1-y0(y1+y2)+ y 2 0 y1y2

x 2 0

=

4-12 y 2 0

4 x 2 0 +3 y 2 0

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

7-12( x 2 0 + y 2 0 )

4 x 2 0 +3 y 2 0

=-

5

x 2 0 +3

＜0．
∴原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算、直線與圓相切、點與圓的位置關(guān)系判定等基本知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力與計算能力．．