Question

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設平面向量

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），且

a

與

b

的夾角為θ，
因為

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ，
所以

a

•

b

≤|

a

||

b

|．
即a1b1+a2b2≤

a 2 1 + a 2 2

×

b 2 1 + b 2 2

，
當且僅當θ=0時，等號成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），結合空間向量，證明：對于任意a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

)(

b

2 1

+

b

2 2

+

b

2 3

)成立；
（II）試求函數y=

x

+

2x-2

+

8-3x

的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用

a

•

b

≤|

a

|•|

b

|，即可證明結論；
（II）構造空間向量

a

=（1，1，1），

b

=(

x

，  

2x-2

，  

8-3x

)，且

a

與

b

的夾角為θ，利用（I）的結論，即可得到結論．

解答：（I）證明：設空間向量

a

=（a₁，a₂，a₃），

b

=（b₁，b₂，b₃），且

a

與

b

的夾角為θ，
因為

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ，
所以

a

•

b

≤|

a

|•|

b

|，（3分）
即a1b1+a2b2+a3b3≤

a 2 1 + a 2 2 + a 2 3

•

b 2 1 + b 2 2 + b 2 3

（6分）
所以(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

)(

b

2 1

+

b

2 2

+

b

2 3

)，
當且僅當θ=0時，等號成立．（7分）
（II）解：設空間向量

a

=（1，1，1），

b

=(

x

，  

2x-2

，  

8-3x

)，且

a

與

b

的夾角為θ，（9分）
因為y=

x

+

2x-2

+

8-3x

=

a

•

b

，
所以y=

x

+

2x-2

+

8-3x

≤

12+12+12

•

x+(2x-2)+(8-3x)

，
即y≤

3

•

6

=3

2

，（12分）
當且僅當θ=0（即

a

與

b

共線，且方向相同）時，等號成立．
所以當

x

=

2x-2

=

8-3x

時，
即x=2時，函數y=

x

+

2x-2

+

8-3x

有最大值ymax=3

2

．（14分）

點評：本題考查向量的數量積公式，考查函數最大值的求解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．