Question

【題目】已知橢圓C1： （a＞b＞0）的一個頂點與拋物線C2：x2=4y的焦點重合，F1、F2分別是橢圓C1的左、右焦點，C1的離心率e= ，過F2的直線l與橢圓C1交于M，N兩點，與拋物線C2交于P，Q兩點．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）當直線l的斜率k=﹣1時，求△PQF1的面積；
（3）在x軸上是否存在點A， 為常數？若存在，求出點A的坐標和這個常數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線C2：x2=4y的焦點為（1，0），可得b=1，

由e= = ，a2﹣c2=1，解得a= ，

故橢圓C1的方程為 +y2=1

（2）解：由題意可得直線l：y=1﹣x，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），代入拋物線的方程x2=4y，可得

x2+4x﹣4=0，可得x1+x2=﹣4，x1x2=﹣4，

即有|PQ|= = =8，

由F1到直線l的距離為d= = ，

可得△PQF1的面積為 |PQ|d= ×8× =4

（3）解：設x軸上存在一點A（t，0），使得 為常數．

①直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x﹣1），M（x3，y3），N（x4，y4），

把直線l的方程代入橢圓方程化簡可得（2k2+1）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，

∴x3+x4= ，x1x2= ，

∴y3y4=k2（x3﹣1）（x4﹣1）=k2[x3x4﹣（x3+x4）+1]，

∴ =（x3﹣t）（x4﹣t）+y3y4=（k2+1）x3x4﹣（k2+t）（x3+x4）+k2+t2

= +t2，

∵ 為常數，

∴ = ，

∴t= ，

此時 =﹣2+ =﹣ ；

②當直線l與x軸垂直時，此時點M、N的坐標分別為（1， ），（1，﹣ ），

當t= 時，亦有 =﹣ ．

綜上，在x軸上存在定點A（ ，0），使得 為常數，

且這個常數為﹣

【解析】（1）求得拋物線的焦點，可得b=1，再由橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，可得a，進而得到橢圓方程；（2）由題意可得直線l：y=1﹣x，設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），代入拋物線的方程x2=4y，運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，運用三角形的面積公式可得所求；（3）設x軸上存在一點A（t，0），使得 為常數．①直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x﹣1），M（x3 ， y3），N（x4 ， y4），代入橢圓方程，運用韋達定理和向量的數量積的坐標表示，化簡整理，再由恒為常數，可得t，可得常數；②當直線l與x軸垂直時，求得M，N的坐標，即可判斷存在A和常數．